Как это считается
Круговой виток с током — базовая конструкция всей электротехники: из витков состоят катушки, электромагниты, обмотки двигателей и трансформаторов. Индукция в центре витка радиуса R с током I равна B = μ₀ · I / (2R). Формула получается интегрированием закона Био–Савара–Лапласа по окружности: все элементы витка создают в центре сонаправленные вклады, поэтому результат складывается без векторных ухищрений. Для катушки из N плотно уложенных витков поле просто умножается на N.
На оси витка, на расстоянии x от его плоскости, поле считается по формуле B(x) = μ₀ · N · I · R² / (2 · (R² + x²)^(3/2)). Отсюда видно характерное поведение: в центре поле максимально, на расстоянии, равном радиусу, оно падает примерно в 2,8 раза, а далеко от витка выходит на дипольный закон 1/x³ — ровно как у постоянного магнита. Это неслучайно: виток с током и есть магнитный диполь с моментом m = N · I · S, и с большого расстояния постоянный магнит и катушка неотличимы.
Обратите внимание на важную и неочевидную зависимость: поле в центре обратно пропорционально радиусу. Уменьшив виток вдвое при том же токе, вы удвоите поле в центре. Поэтому маленькие катушки при равном токе дают более сильное поле, но зато охватывают меньший объём. Это фундаментальный компромисс при проектировании любых катушек — от датчиков металла до систем размагничивания.
Отдельного упоминания заслуживают кольца Гельмгольца — два одинаковых соосных витка, разнесённых на расстояние, равное их радиусу. В такой конфигурации неоднородности поля от каждого кольца взаимно компенсируются, и в центральной области получается очень однородное поле с индукцией B = 0,7155 · μ₀ · N · I / R. Именно так делают эталонные источники поля для калибровки датчиков, катушки для компенсации магнитного поля Земли и установки для магнитобиологических экспериментов. Если вам нужно однородное поле в объёме, а не максимум в точке, — это ваша конструкция.
Что важно в практических расчётах. Первое: формулы выше справедливы для тонкого витка; у реальной катушки с толстой намоткой надо брать средний радиус. Второе: сердечник умножает поле на эффективную проницаемость, но для разомкнутого стержня она в десятки раз меньше паспортной μ материала. Третье: следите за нагревом — поле растёт линейно с током, а тепловыделение как квадрат тока, поэтому «просто добавить тока» быстро упирается в предел провода. Четвёртое: если катушка работает импульсно, поле может быть в разы больше расчётного по постоянному току, потому что кратковременно провод выдерживает существенно большую плотность тока.